Cross Entropy Error Function

交叉熵损失函数

一,信息量

信息量:

任何事件都会承载着一定的信息量,包括已经发生的事件和未发生的事件,只是它们承载的信息量会有所不同。如昨天下雨这个已知事件,因为已经发生,是既定事实,那么它的信息量就为0。如明天会下雨这个事件,因为未有发生,那么这个事件的信息量就大。

从上面例子可以看出信息量是一个与事件发生概率相关的概念,而且可以得出,事件发生的概率越小,其信息量越大。

假设$x$是一个离散型随机变量,其取值集合为$X$,概率分布函数为$p(x)$,则定义事件$x=x_0$的信息量为:$I(x_0)=-\log(p(x_0))$

二,熵

熵是表示随机变量不确定的度量,是对所有可能发生的事件产生的信息量的期望。熵值越大,表明这个系统的不确定性就越大。公式如下:

对于0-1分布问题,熵的计算方法可以简化为:

三,相对熵(KL散度)

相对熵又称KL散度,用于衡量对于同一个随机变量x的两个分布p(x)和q(x)之间的差异。在机器学习中,p(x)常用于描述样本的真实分布,例如[1,0,0,0]表示样本属于第一类,而q(x)则常常用于表示预测的分布,例如[0.7,0.1,0.1,0.1]。显然使用q(x)来描述样本不如p(x)准确,q(x)需要不断地学习来拟合准确的分布p(x)。

KL散度的公式如下:

KL散度的值越小,表示两个分布越接近。在机器学习中,p往往用来表示样本的真实分布,q用来表示模型所预测的分布,那么KL散度就可以计算两个分布的差异,也就是Loss损失值。

四,交叉熵

将KL散度的公式进行变形,得到:

根据熵的定义,前半部分是$p(x)$的熵$H(x)=-\sum_{i=1}^np(x_i)\log(p(x_i))$,而后半部分则是交叉熵,定义为:

因此$D{KL}(p||q)=H(p,q)-H(p)$ ,在机器学习中,我们需要评估label和predicts之间的差距,使用KL散度刚刚好,即 $D{KL}(p|| \widetilde {q})$ ,由于KL散度中的前一部分$−H(p)$不变,故在优化过程中,只需要关注交叉熵就可以了。

五,交叉熵损失函数

在线性回归问题中,常常使用MSE(Mean Squared Error)作为loss函数,而在分类问题中常常使用交叉熵作为loss函数,特别是在神经网络作分类问题时,并且由于交叉熵涉及到计算每个类别的概率,所以交叉熵几乎每次都和sigmoid或者softmax函数一起出现。

(1)二分类

在二分的情况下,对于每个类别我们的预测的到的概率为p和1-p。此时表达式为:

其中:

  • $y_i$表示样本i的label,正类为1,负类为0
  • $p_i$表示样本i预测为正的概率

(2)多分类

多分类问题实际上就是对二分类问题的扩展:

其中:

  • M 表示类别的数量
  • $y_{ij}$表示该类别和样本i类别是否相同,相同为1,不同为0
  • $p_{ij}$表示对于观测样本i属于类别j的预测概率

例如:

idpredictlabelisCorrect
10.3 0.3 0.40 0 11
20.3 0.4 0.30 1 01
30.1 0.2 0.71 0 00

那么求其Loss:

对所有样本的Loss求平均

参考

https://zhuanlan.zhihu.com/p/74075915

https://zhuanlan.zhihu.com/p/61944055

https://zhuanlan.zhihu.com/p/35709485

https://blog.csdn.net/b1055077005/article/details/100152102